From the palmerpenguins package, data courtesy of Dr. Kristen Gorman and the Palmer Station, Antarctica LTER.

library(palmerpenguins)
data(penguins)
head(penguins, n= 10)

# A tibble: 10 × 8
   species island    bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g
   <fct>   <fct>              <dbl>         <dbl>             <int>       <int>
 1 Adelie  Torgersen           39.1          18.7               181        3750
 2 Adelie  Torgersen           39.5          17.4               186        3800
 3 Adelie  Torgersen           40.3          18                 195        3250
 4 Adelie  Torgersen           NA            NA                  NA          NA
 5 Adelie  Torgersen           36.7          19.3               193        3450
 6 Adelie  Torgersen           39.3          20.6               190        3650
 7 Adelie  Torgersen           38.9          17.8               181        3625
 8 Adelie  Torgersen           39.2          19.6               195        4675
 9 Adelie  Torgersen           34.1          18.1               193        3475
10 Adelie  Torgersen           42            20.2               190        4250
# ℹ 2 more variables: sex <fct>, year <int>

penguins <- penguins %>% na.omit() %>% mutate(year=as.factor(year))

Artwork by @allison_horst

Point de vue science des données

• Comment représenter ces données en perdant le moins d’information possible? Visualisation
• Toutes les variables sont-elles utiles ? Compression
• Peut-on mettre en évidence des liens entre variables ? Compression
• Peut-on mettre en évidence des liens entre individus ? Compression

Point de vue biologique

• Quelles sont les différences morpholgiques entre espèces, entre sexe et entre les îles ?
• Existe-t-il des relations morphométriques ?

penguins %>%
  select(species, body_mass_g, ends_with("_mm")) %>% 
  GGally::ggpairs(aes(color = species),
          columns = c("flipper_length_mm", "body_mass_g", 
                      "bill_length_mm", "bill_depth_mm")) +
  scale_colour_manual(values = c("darkorange","purple","cyan4")) +
  scale_fill_manual(values = c("darkorange","purple","cyan4"))

Projection sur un espace à deux dimensions

Le mensonge de la projection

En * Trouvant une (ou plusieurs) représentations en 2 dimensions la plus fidèle possible, * Faisant apparaître les liens plus complexes entre variables (\(X_3 = X_1 + X_2\)) * étant capable d’identifier les individus qui se ressemblent globalement

• Si une caractéristique est quantitative, alors on note dans une colonne la valeur mesurée sur l’individu.
• Si une caractéristique est qualitative, alors on utilise classiquement la représentation one hot encoding, qui consiste à représenter cette caractéristique qualitative sur autant de colonnes que de modalités et attribuer un \(1\) dans la colonne correspondant à la modalité de l’individu et 0 aux autres.

Données disponibles dans le package palmerpenguins mises à disposition par le Dr. Kristen Gorman et the Palmer Station, Antarctica LTER.

On a mesuré les caractéristiques morphologiques de divers manchots :

# A tibble: 3 × 8
  species island    bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g
  <fct>   <fct>              <dbl>         <dbl>             <int>       <int>
1 Adelie  Torgersen           39.1          18.7               181        3750
2 Adelie  Torgersen           39.5          17.4               186        3800
3 Adelie  Torgersen           40.3          18                 195        3250
# ℹ 2 more variables: sex <fct>, year <fct>

Dans la suite on va noter \({\boldsymbol{X}}\) la matrice des données, \({\boldsymbol{X}}\in {\mathbb{R}}^{n\times p}\).

\(x_{\class{alea}{i}\class{orange}{j}}\) est la valeur de la variable \(\class{orange}{j}\) mesurée pour l’individu \(\class{alea}{i}.\)

\[{\boldsymbol{X}}= \overset{\color{orange}{\begin{matrix}var_1& \ldots \ & \ \ldots \ &\ \ldots\ & \ var_p \end{matrix}}}{\begin{pmatrix} x_{\class{alea}{1}}^{\class{orange}{1}} & \ldots & \ldots &\ldots & x_{\class{alea}{1}}^{\class{orange}{p}}\\ \vdots & & & &\vdots \\ & & x_{\class{alea}{i}}^{\class{orange}{j}} & & \\ \vdots & & & & \vdots \\ x_{\class{alea}{n}}^{\class{orange}{1}} & & & & \ldots x_{\class{alea}{n}}^{\class{orange}{p}}\\ \end{pmatrix}}\]

Ecrire les 2 premières lignes de \(\Xbf\) pour l’exemple des manchots

Comprendre les relations entre des variables toutes quantitatives.

Example

Quels sont les liens entre les différentes variables morphométriques ?

X_pca <- penguins %>%select(where(is.numeric)) 
head(X_pca)

# A tibble: 6 × 4
  bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g
           <dbl>         <dbl>             <int>       <int>
1           39.1          18.7               181        3750
2           39.5          17.4               186        3800
3           40.3          18                 195        3250
4           36.7          19.3               193        3450
5           39.3          20.6               190        3650
6           38.9          17.8               181        3625

\[\Xbf \in \R^{n\times d}; \quad \Xbf = \begin{pmatrix} x_{1,1} & \ldots & x_{1,p} \\ \vdots & &\vdots \\ x_{n,1} & \ldots & x_{n,p} \\ \end{pmatrix}. \]

Comprendre les combinaisons de variables quantitatives qui expliquent les groupes, ou comment visualiser au mieux les différences entre les groupes.

Example Comment visualiser au mieux les différences morpohologiques entre les espèces ?

X_afd <- penguins %>% select(-island, -sex, -year) 
head(X_afd)

# A tibble: 6 × 5
  species bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g
  <fct>            <dbl>         <dbl>             <int>       <int>
1 Adelie            39.1          18.7               181        3750
2 Adelie            39.5          17.4               186        3800
3 Adelie            40.3          18                 195        3250
4 Adelie            36.7          19.3               193        3450
5 Adelie            39.3          20.6               190        3650
6 Adelie            38.9          17.8               181        3625

\[ \Xbf = \begin{pmatrix} \class{rouge}{y_1} & x_{1,1} & \ldots & x_{1,p} \\ \vdots & &\vdots \\ \class{rouge}{y_n} & x_{n,1} & \ldots & x_{n,p} \\ \end{pmatrix}, \quad x_{ij}\in\R,\  g_i \in \mathcal{G} =\left \lbrace g_1, \ldots, g_G\right \rbrace. \]

On souhaite étudier les liens entre deux variables qualitatives.

Example

Comment la répartition entre espèce diffère entre les îles.

X_acm <- penguins %>%select(species, island) 
head(X_acm)

# A tibble: 6 × 2
  species island   
  <fct>   <fct>    
1 Adelie  Torgersen
2 Adelie  Torgersen
3 Adelie  Torgersen
4 Adelie  Torgersen
5 Adelie  Torgersen
6 Adelie  Torgersen

\[\Xbf = \begin{pmatrix} \class{bleu}{a_1} & \class{orange}{b_1} \\ \class{bleu}{\vdots} &\class{orange}{\vdots} \\ \class{bleu}{a_n} & \class{orange}{b_n} \\ \end{pmatrix}, \quad a_{i}\in \mathcal{A}, \ \#\mathcal{A}= p,\quad b_{i}\in \mathcal{B}, \ \#\mathcal{B}= q. \]